Как уже говорилось выше, основание системы счисления показывает, сколько цифр используется для записи числа.

Возьмем число в десятичной системе счисления., например 247,32, и представим его в следующем виде:

247,32 = 2*10² + 4*10¹ + 7*10⁰ + 3*10^-1 + 2*10^-2

Мы записали число в развернутой форме, в которой:
          2,4,7,3,2 - цифры числа
          10 - основание системы счисления
           показатели степени:  2,1,0,-1,-2  соответствуют номеру позиции цифры в числе.

Основанием системе счисления. может служить любое натуральное число: 2, 3, 4, и т.д.. Следовательно, возможно бесчисленное множество позиционных систем. 

Пусть q - основание системы счисления
           n -  число разрядов целой части числа
           m - число разрядов дробной части числа
           a_i - цифра числа
           A_q - само число,
тогда развернутую форму для числа представленного в любой системе счисления можно записать в общем виде следующим образом:

A_q = a_n-1*q^n-1 + a_n-2*q^n-2 +  ... + a₀*q⁰  + a_-1*q^-1 + a_-2*q^-2+ ...  +a_-m*q^-m 

qⁱ  - называется весом цифры числа

Определения:

Вес цифры числа равен степени, где основание степени  равно основанию системы счисления, а показатель номеру позиции цифры в числе.

Развернутая форма записи числа равна сумме произведений цифры числа на ее вес.

Примеры развернутых записей чисел в различных системах счисления:

1. 423,312₁₀ = 4*10² + 2*10¹+ 3*10⁰+ 3*10^-1+1*10^-2 +2*10^-3

2. 423,312₅ = 4*5² + 2*5¹+ 3*5⁰+ 3*5^-1+1*5^-2 +2*5^-3

3. 423,312₈ = 4*8² + 2*8¹+ 3*8⁰+ 3*8^-1+1*8^-2 +2*8^-3

Развернутая форма служит для перевода чисел из любой системы счисления в десятичную

Примеры перевода чисел из пятеричной и восьмеричной систем счисления в десятичную систему счисления:

423,312₅ = 4*5² + 2*5¹+ 3*5⁰+ 3*5^-1+1*5^-2 +2*5^-3 = 113,016512₁₀
423,312₈ = 4*8² + 2*8¹+ 3*8⁰+ 3*8^-1+1*8^-2 +2*8^-3 = 275,004074₁₀

Задания

1. Запишите в развернутом виде числа:

14351₁₀   14351₈   14351₆   14351₁₆   14351₃  

2. Запишите в десятичной системе числа:

881₉     423,2₈    120₃     100,5₄ 

3.  Найдите  серьезные ответы к "несерьезным" вопросам

Проверьте себя

Дайте пояснения к приведенным ответам.

4. Какое минимальное основание должна иметь система счисления, если в ней можно записать числа:
                             341, 123, 222, 111
Найдите десятичный эквивалент указанных чисел.

5. Текст и решение следующей задачи приводятся по книге "Занимательная арифметика" Якова Исидоровича Перельмана.

В бумагах одного чудака математика найдена была его автобиография. Она начиналась следующими удивительными словами:
"Я окончил курс университета 44 лет от роду. Спустя год, 100-летним молодым человеком, я женился на 34-летней девушке. Незначительная разница в возрасте — всего 11 лет — способствовала тому, что мы жили общими интересами и мечтами. Спустя немного лет у меня была уже и маленькая семья из 10 детей. Жалованья я получал в месяц всего 200 рублей, из которых 1/10 приходилось отдавать сестре, так что мы с детьми жили на 130 руб. в месяц" и т.д.

Чем объяснить странные противоречия в числах этого отрывка?